May 16, 2017, 2:15 p.m.
Seminarium ZMN: S. Paszkowski o ,,Ułamkach łańcuchowych skalowanych''
Na kolejnym seminarium Zakładu Metod Numerycznych (16 maja, godz. 14.15, s. 237) prof. Stefan Paszkowski przedstawi referat pt. ,,Ułamki łańcuchowe skalowane''.
Streszczenie. Istotną częścią klasycznej teorii liczb było badanie własności ułamków łańcuchowych arytmetycznych (UA) postaci
a_0+K_{n>0}[1/a_n] (a_0 całkowite nieujemne, pozostałe a_n naturalne).
M.in. już Lagrange udowodnił, że UA jest okresowy wtedy i tylko wtedy, gdy jego wartość jest niewymiernością kwadratową. Z praktycznego punktu widzenia UA mają pewną wadę: mianowniki a_n mogą być dowolnie duże, co utrudnia ich kodowanie. W komunikacie opisano zmodyfikowane pojęcie: ułamek łańcuchowy skalowany (US). Nie ma on tej wady (a ma inne). Definicja US o danej wartości x>0 wynika wprost z algorytmu podobnego do tego, który prowadzi do UA. Rezultat obliczeń jest liczbą dodatnią T(x), z której można odtworzyć x za pomocą innego algorytmu, wziętego z teorii UA. Podano
- pewne własności T(x); w szczególności jeśli jest to liczba wymierna, to x jest niewymiernością kwadratową,
- algorytm przejścia od UA do US,
- przykłady US dla pierwiastka kwadratowego z liczb naturalnych,
- pytania dotyczące US pozostające jeszcze bez odpowiedzi.